Задача і коло Аполонія. Мета




Скачати 251.36 Kb.
Дата конвертації21.04.2016
Розмір251.36 Kb.
Урок 1.

Тема. Задача і коло Аполонія.

Мета. Ознайомити учнів розв’язками цікавих задач геометрії, з теоретичним матеріалом та практичним втіленням його при розв’язуванні задач прикладного характеру; з біографічними даними Аполлонія Перського; формувати інтерес до предмету та його історії;

розвивати логічне мислення, інтуїцію, творчі здібності при розв’язуванні задач.



І. Перевірка домашнього завдання.

    • Перевірити відповіді розв’язаних задач.

    • Виступи учнів про життя і творчість Аполлонія Перського.

Аполлоній Перський (260-170 до н.е.) автор багатьох математичних праць, найвизначнішою з яких є «Коніка». Із восьми книг цього твору збереглося сім. Вони присвячені конічним перерізам, або кривим другого порядку. Аполлоній увів назви параболи, гіперболи, еліпса. Для кожної і з цих кривих він відкриває і доводить основні її властивості. В семи книгах подано формулювання і доведення 387 теорем, в яких розглянуто найголовніші властивості кривих другого порядку. При відсутності аналітичного методу дослідження, виконане вченим, вимагало велетенської роботи. Різні автори називають ще інші праці Аполлонія з математики, астрономії, оптики, але жодна з них до нас не дійшла. У «Загальному трактаті» він вивчав загальні, не доводжувані поняття геометрії – аксіоми ,постулати та їх відношення до реальної дійсності. Аполлоній обчислював значення числа Пі.

У двотомній книзі «Про дотики» було вміщено його знамениту задачу: «Дано три фігури, кожна з яких може бути точкою, прямою або колом. Побудувати коло, яке проходило б через дані точки (або точку) і дотикалося до даних кіл або прямих». Розв’язання задачі самим Аполлонієм до нас не дійшло. Його вдруге знайшов французький математик Франсуа Вієт. Пропоновані далі задачі на побудову - п’ять з десяти можливих окремих варіантів задачі Аполлонія. Легко побачити, що кожний варіант має кілька окремих випадків, залежно від розміщення даних фігур на площині.

В школі розв’язують окремі варіанти задачі Аполлонія. Можливо він теж розглядав окремі випадки, перш ніж будувати коло, яке було б дотичним до трьох даних кіл:


  1. Побудувати коло,яке проходить через три дані точки.

  2. Побудувати коло,яке дотикається до трьох даних прямих.

  3. Побудувати коло,яке дотикається до двох даних паралельних прямих і проходить через точку,що належить смузі,утвореній даними паралельними прямими.

  4. Побудувати коло, яке проходить через дану точку й дотикається до двох прямих, які перетинаються.

  5. Побудувати коло, яке проходить через дві дані точки й дотикається до даної прямої.

  6. Побудувати коло, яке дотикається до даного кола й проходить через дві дані точки.

  7. Побуду вати коло, що дотикається до трьох даних кіл, що проходять через дану точку.

II. Розв’язування задач.

Задача Аполлонія.

Дано три фігури, кожна з яких може бути точкою, прямою або колом. Побудувати коло, яке проходило б через кожну з даних точок і дотикалося б до кожної з даних прямих.



Розв'язання.


c:\users\людмила\documents\media\image1.jpeg


Розглянемо один випадок: побудуємо коло, яке дотикається до двох даних паралельних прямих і даного кола. Нехай а і в дані прямі й (O; R) дане коло. З довільної точки А, яка належить прямій a, побудуємо пряму АВ перпендикулярну до прямої b. Через середину відрізка АВ, точку С, проведемо пряму в паралельну прямій а. Будуємо коло з центром в точці О радіусом R+АС або R-АС. Фіксуємо точку D перетину кола (O; R+АС) з прямою с, вона й буде центром шуканого кола.



Задачі Аполлонія.

  1. Побудувати коло, яке:

  • дотикається до двох даних прямих і кола;

  • дотикається до двох даних кіл і прямої;

  • дотикається до двох даних кіл і проходить через дану точку;

  • дотикається до даних кола та прямої і проходить через дану точку;

  • дотикається до трьох даних кіл.

  1. Довести, що множина точок площини, відстань від яких до двох даних точок А і В, які лежать в площині, знаходяться в даному відмінному від нуля відношенні, є колом. Його називають колом Аполллонія.

  1. Домашнє завдання.

Побудувати коло, яке дотикається до даних кола та прямої і проходить через дану точку; дотикається до трьох даних кіл.

  1. Підсумок уроку.


Урок 2.

Тема. Авторські задачі Якоба Штейнера.

Мета. Ознайомити учнів розв’язками цікавих задач геометрії; з біографією видатного математика Якоба Штейнера; формувати інтерес до предмету,навичок самостійної роботи з книгою; вміння розв’язувати задачі на побудову; розвивати логічне мислення, творчі здібності шляхом розв’язування нестандартних задач.

І. Перевірка домашнього завдання.

Учні виступають з повідомленням про життя і творчість Якоба Штейнера.



Задачі Якоба Штейнера (побудова тільки за допомогою лінійки). Задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки цікавили вчених з глибокої давнини. З часом теорія розв’язування таких задач пішла по трьох основних напрямках: побудова за допомогою одного циркуля, за допомогою однієї лінійки, за допомогою лінійки і допоміжного кола. Теорію всіх трьох типів побудов найповніше розробив швейцарський математик Штейнер.

Якоб Штейнер (18 березня 1796 року, Утценсторф поблизу Золотурна, Швейцарія —1 квітня 1863 року, Берн) — швейцарський математик, засновник синтетичної геометрії кривих ліній і поверхонь 2-го і вищих порядків.

Отримав освіту в Іфертені у Песталоцці, в 1818 році вступив до Гейдельберзького університету. Закінчивши там освіту, в 1821 році став вчителювати у Берліні в приватному інституті Пламанна. З 1825 по 1835 роки був учителем математики в берлінському міському промисловому училищі. З 1835 року почав викладання в Берлінському університеті в якості екстраординарного професора математики.

У 1834 році був обраний членом Берлінської академії наук. Помираючи в 1863 році в Берні, він заповідав 8000 талерів цій академії наук для премії за твори з синтетичної геометрії.

Систематизував ідею проективного утворення складних геометричних образів із простіших. Автор праць: «Систематичний розвиток залежності геометричних образів один від одного» (1832); «Геометричні побудови за допомогою прямої лінії та нерухомого кола» (1833).

II. Розв’язування задач.

Задачі Штейнера.

1. На прямій дано три точки А,В,С, з яких В знаходиться між А і С.Через довільну точку К, що не належить прямій АС, провести пряму паралельну прямій АС.



F


c:\users\людмила\documents\media\image2.jpeg


2.Дано паралельні відрізки АС і КF (Малюнок задачі №1.). Поділити один з них пополам.



  1. Дано дві паралельні прямі. Провести через дану точку третю пряму , паралельну даним.

Розв’язання.

Ділимо пополам довільний відрізок,який лежить на одній з даних паралельних прямих (попередня задача № 2, тоді задача №1).



  1. Дано коло і пряма, яка проходить через центр кола. Провести перпендикуляр з даної точки М до даної прямої за допомогою лінійки.

Розв’язання.


c:\users\людмила\documents\media\image3.jpeg


Будуємо прямі МА і МВ,які перетинають коло відповідно в точках А1 і В1 . Прямі А В1 і А1В перетнуться в точці С. Пряма МС шукана.



  1. Дано коло і довільну пряму АВ. Провести пряму,яка проходить через задану точку і паралельна прямій АВ.

Розглянути випадки:

  • пряма проходить через центр кола;

  • пряма перетинає коло і не проходить через його центр;

пряма знаходиться поза колом.

  1. Якщо провести пряму через точку перетину діагоналей трапеції і точку перетину бічних сторін то основа цією прямою ділиться пополам.

  1. Домашнє завдання. Розв'язати задачі №5; 6.

  2. Підсумок уроку.

Урок 3.

Тема. Авторські задачі Нікколо Тарталья і Луки Пачолі.

Мета. Ознайомити учнів розв’язками цікавих задач геометрії; з біографічними даними видатних математиків; формувати вміння використовувати свої знання в нових ситуаціях; розвивати логічне мислення, творчі здібності.

І. Перевірка домашнього завдання.

- Повідомлення учнів про життя і творчість Нікколо Тарталья і Луки Пачолі.

«Я навчався сам, і в мене не було іншого наставника, крім супутника бідності – заповзятливості» (Н. Тарталья)

Перше значне математичне досягнення епохи Відродження пов’язують з іменем Нікколо Тартальї. Саме його вважають одним з авторів формули для коренів кубічного рівняння. Це відкриття його сучасники вважали «таким прекрасним і дивним, що перевершує всі таланти людського духу».

Народився Нікколо в дуже бідній сім’ї. Рано помер батько і мати з трьома дітьми потрапили у велику скруту. Нікколо жив у часи так званих Італійських воєн (1494-1559 рр.), що вели між собою Франція й Іспанія за право володіти Італією. Коли хлопчикові було шість років, його рідне місто – Брешію захопили французькі війська. Населення, як зазвичай, укрилося в місцевому соборі. Але стіни храму не врятували жителів від кривавої бійні, влаштованої іноземними вояками. Отримав поранення і Нікколо: йому розсікли язик, понівечили гортань. Хлопчик тривалий час розмовляв з великими труднощами і тому його називали «Тарталья» (італійською: tartaglia - заїка).

У школі Нікколо провчився всього 15 днів, дійшовши у вивченні алфавіту лише до букви «К». Не маючи змоги платити за навчання мати була вимушена забрати сина зі школи. Самостійно він опанував латинську та грецьку мови, а також математику. Він так «самоутворив себе», що здав іспити на звання «магістра абака» (щось на зразок учителя арифметики) і почав працювати в приватному комерційному ліцеї. Поселившись у Вероні, заробляв свій хліб викладанням математики. За мізерну винагороду він читав лекції з геометрії, арифметики і механіки. Окрім цього, консультував з різних питань математики і техніки «майстрів, купців, артилеристів і архітекторів».

У ті часи проводилися не лише лицарські турніри. Траплялися і наукові двобої, на яких учені змагалися між собою в тому, хто швидше і більше розв’яже задач, запропонованих супротивником. Переможець одержував певну винагороду і здобував визнання, йому пропонували зайняти почесну, добре оплачувану посаду.

Наприкінці 1534 р. Тарталья одержав виклик на таке змагання від Антоніо Фіоре – учня відомого професора математики Болонського університету Сципіона дель Ферро (вважають, що Саме Ферро першим розв’язав кубічне рівняння в радикалах). Нікколо дізнався, що Фіоре володіє секретом розв’язання кубічного рівняння, який йому повідомив Ферро. Шляхом титанічних зусиль Тартальї за кілька днів до диспуту теж вдалося знайти спосіб розв’язання такого рівняння. «Я застосував усе своє завзяття, старанність і мистецтво, щоб знайти правило розв’язання цих рівнянь, і це мені вдалося за десять днів до призначеного терміну завдяки щасливій долі», - згадував пізніше Тарталья.

Двобій відбувся 12 лютого 1535 р. Кожному із супротивників треба було розв’язати по 30 задач. За дві години Тарталья справився з усіма задачами, запропонованими йому Фіоре, а той не розв’язав жодної задачі свого противника (Фіоре запропонував переважно кубічні рівняння, а Тарталья - задачі з різних розділів математики). Перемога була повною, вчений прославився на всю Італію і отримав кафедру математики у Вероні.

Із проханням повідомити йому метод розв’язування кубічного рівняння до Тартальї звернувся інший відомий учений Джироламо Кардано, що був одночасно математиком і механіком, лікарем і алхіміком, хіромантом і особистим астрологом римського папи. Одного разу він склав гороскоп Ісуса Христа, за що піддався гонінням з боку інквізиції і якийсь час провів у в’язниці.

Багато разів Кардано просив Тарталью показати йому формули, що дозволяють знаходити корені кубічного рівняння, і щоразу одержував відмову. Нарешті, у 1539 р. Тарталья все ж таки відкрив (у віршованій формі з 25 рядків) свій секрет Кардано, узявши з того слово ніколи не публікувати повідомлений йому метод розв’язання. Але через шість років Кардано порушив свою «священну клятву» - він видав трактат «Велике мистецтво, або про правила алгебри» (1545 р.), де виклав алгоритми розв’язування рівнянь третього і четвертого степеня. У передмові до книги Кардано пише: «...у наш час Сципіон дель Ферро відкрив формулу... Нікколо Тарталья з Брешії, наш друг, що був викликаний на змагання з учнем дель Ферро по імені Антоніо Маріо Фіоре, розв’язав, щоб не бути переможеним, ту ж саму проблему і після довгих прохань передав секрет мені». І хоча Кардано чесно написав про те, від кого він довідався про розв’язання кубічного рівняння, Тарталья дуже образився, вважав себе обкраденим і написав своєму «другові» гнівного листа. «У мене віроломно викрали найкращу прикрасу мого алгебраїчного твору» - писав Тарталья. Кардано не відповів на лист Тартальї. За честь Кардано заступився його учень Людовіко Феррарі (якому належить першість у розв’язанні в радикалах рівняння четвертого степеня). Він написав Нікколо різкого листа, в якому викликав Тарталью на публічний диспут з «геометрії, арифметики та пов’язаними з ними дисциплінами, такими як астрологія, музика, космографія, перспектива, архітектура та ін.».

Двобій відбувся 10 серпня 1548 р. у Мілані. Ворожнечо налаштована публіка змусила Тарталью припинити диспут і терміново залишити Мілан. Переможцями стали вважати (не зовсім об’єктивно) Феррарі та його вчителя Кардано. І навіть формулу для коренів кубічного рівняння стали називати формулою Кардано. Сучасні історики науки вважають, що більш справедливо її називати формулою Ферро-Тартальї-Кардано.

Тарталья написав декілька книг, найбільш важлива з яких була видана у Венеції під назвою «Загальний трактат про число і міру» (ч.1-6, 1556- 1560). У ній він виклав свої оригінальні дослідження з арифметики, алгебри і геометрії. Зокрема, у книзі вперше застосовуються круглі дужки. Трактат містить також таблицю так званих «біноміальних коефіцієнтів». Ці коефіцієнти з давніх часів записували у вигляді трикутної числової таблиці, названої «арифметичним трикутником». Ця таблиця була частково відома в Індії ще в 2 ст. до н.е. До n=9 вона була наведена в працях ал-Каші, а в Європі вона фігурує в працях П.Апіана (1527) і М.Штифеля (1544). Більшу популярність ця таблиця отримала в 17 ст. у зв’язку з працями Б.Паскаля, тому іноді її називають «трикутником Паскаля».

Тарталья досліджував також проблеми механіки, балістики, геодезії. У праці «Нова наука» (1537) він вперше розглянув питання про траєкторію польоту снаряда і встановив, що найбільша дальність польоту досягається при нахилу ствола гармати під кутом 45 градусів. Його книга «Різні питання і винаходи» (1546) присвячена фортифікації. Учений здійснив переклад італійською мовою деяких праць Архімеда та Евкліда. Іменем Фонтана названо кратер на видимій стороні Місяця.

Пачолі народився близько 1445 в італійському містечку Сансеполькро в провінції Ареццо. У дитинстві він допомагав у діловодстві купцеві фольк де Бельфольчи, навчався в майстерні П'єро делла Франческо. В 1470 вступив у братство монахів-францисканців.

У 1494 публікує свою роботу з математики під назвою «Сума арифметики, геометрії, дробів, пропорцій і пропорційності» . Один з розділів, який називається «Трактат про обчислення та записах», містить формулювання основних принципів сучасного бухгалтерського обліку (подвійний запис, дебет, кредит, баланс тощо).

У 1497 на запрошення Ладавіка Сфорца приїжджає в Мілан, де знайомиться з Леонардо да Вінчі.

У 1509 випускає трактат «Про божественну пропорції», в якому, розвинув теорію да Вінчі про побудову гармонійного шрифту. Букви Пачолі будувалися в квадраті з проведеними діагоналями та з вписаним колом; товщина основного штриха кожної букви була рівною 1/10 висоти квадрата, а з'єднувальний штрих був у два рази тонше за основний. Обов'язковою умовою виконання шрифту була точність будови і піклування вирисовування кожного елемента букви. Шрифт Пачолі суворо технічний і красивий.



II. Розв'язування задач.

Задача Луки Пачолі.

1. Площа трикутника дорівнює 84 кв.од. Знайти довжини його сторін, якщо вони є послідовними натуральними числами.



Розв’язання.image4
Нехай довжини сторін трикутника будуть х-1, х, х+1, тоді периметр його дорівнює Зх. За формулою Герона дістанемо:

842=3/2'х' 1/2- х- (х/2+1)'(х/2 - 1)=Зх2'(х+2)' (х-2):16 ;

8422/16' 32-4) ;

336' 112=х4-4х2 ; х4-4х2 - 336'112=0; х2=а, тоді а2 -4а-336' 112=0 ;

а=2+194=196 ,а=2-194=-192 не задовольняє умову; х=14.Довжини сторін трикутника 13; 14; 15 одиниць .



Відповідь: 13; 14; 15 одиниць довжини.

2.Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює 4 одиниці довжини.Точка дотику ділить одну із сторін трикутника на частини довжиною 6 і 8 одиниць.Обчислити довжини двох інших сторін трикутника.



Задача Ніколо Тарталья(1500-1557).

На даному відрізку за допомогою лінійки і даного розхилу циркуля , більшого за відрізок, побудувати рівносторонній трикутник.



Розв ’язання.

image5


D


З точки А ,яка належить відрізку АВ даним розхилом циркуля робимо засічку Д,а з точки В тим самим розхилом робимо з другого боку засічку С.Будуємо на відрізках АД і ВС рівносторонні трикутники.Точка перетину сторін М буде третьою вершиною рівностороннього трикутника АМВ.

III . Домашнє завдання. Розв’язати задачу №2.

IV. Підсумок уроку.

Урок 4.

Тема. Авторські задачі Джона Валліса Доганна Кеплера.

Мета. Ознайомити учнів з біографією видатних математиків давнини ; формувати мотивацію до самостійних занять математикою,навичок самостійної роботи з книгою; розвивати логічне мислення, інтуїцію; дати можливість учням вивчати курс геометрії шляхом розв’язування нестандартних задач;прививати навички практичного застосування набутих знань.

І. Перевірка домашнього завдання.

- Повідомлення учнів про математиків .

Фрідріх Йоганнес Кеплер (27 грудня 1571, Вайль дер Штадт — 15 листопада 1630, Реґенсбурґ) — німецький філософ, математик, астроном, астролог і оптик.

Відкрив закони руху планет, названі на його честь. У обчислювальній математиці на його честь названо метод наблйженого обчислення інтегралів. Він поширював логарифмічне числення у Німеччині. Заснував оптику як науку та допоміг довести відкриття, зроблені з допомогою телескопа його сучасником Ґалілео Ґалілеєм.

Він був викладачем математики семінарії в місті Ґрац (пізніше університет Ґраца), асистентом астронома Тихо Браге, придворним

математиком кайзера Рудольфа II, викладачем математики у Лійці та придворним астрологом генерала Валленштайна.

Народився у місті Вайль дер Штадт (сьогодні частина Штуттґарту). Його батько служив найманцем в Іспанських Нідерландах. Коли хлопцю було 18 років, батько відправився в черговий похід і зник назавжди. Мати Кеплера, Катаріна Кеплер, держала трактир, підробляла ворожінням і траволікуванням.

Цікавитися астрономією почав ще в дитячі роки, коли мати показала йому комету (1577) і місячне затемнення (1580). У 1589 закінчив школу при монастирі Маульбронн, де показав відмінні здібності і в 1591 році поступив на теологічний факультет університету в Тюбінґені, де вперше почув про ідеї Миколи Коперника і одразу став прибічником геліоцентричної системи.Спочатку Кеплер хотів стати протестантським священиком, але завдяки його математичним здібностям був запрошений у 1594 читати лекції з математики в університеті міста Ґрац.

У Граці Кеплер провів 6 років. Тут вийшла в світ (1596) його перша книга „Таємниця світу” .

У 1597 році Кеплер одружився з удовою Барбарою Мюллер фон Мулек. їхні перші двоє дітей померли в дитинстві, а дружина захворіла на епілепсією. На довершення знегод, в католицькому Граці починаються гоніння на протестантів. Кеплер занесений в список „єретиків”, і вимушений залишити місто. Він приймає запрошення Тихо Браге, який до цього часу переїхав до Праги і служить у імператора Рудольфа II придворним астрономом і астрологом.

У 1600 році Кеплер прибуває до Праги. Проведені тут 10 років — найплідніший період його життя.

Після смерті Браге в 1601 році Кеплер стає його наступником на посаді. Скарбниця імператора через нескінченні війни була постійно порожня. Платню Кеплеру платили рідко і бідно. Він вимушений підробляти складанням гороскопів. Кеплеру довелося також вести

багаторічну тяжбу із спадкоємцями Тихо Браге, які намагалися відібрати у нього, серед іншого майна покійного, також і результати астрономічних спостережень. Врешті-решт від них вдалося відкупитися.

У 1604 році Кеплер публікує свої спостереження.

У Празі у Кеплера народилися два сини і дочка.

У 1611 році старший син Фрідріх вмирає від віспи. В цей же час психічнохворий імператор Рудольф II, програвши війну з власним братом Матвієм, відрікається в його користь від чеської корони і незабаром вмирає. Кеплер починає збори для переїзду до Лінц, але тут після довгої хвороби вмирає його дружина Барбара.

У 1612 році, зібравши мізерні кошти, Кеплер переїздить до Лінца, де прожив 14 років. За ним збережена посада придворного математика і астронома, але в справі оплати новий імператор нічим не кращий за старого. Деякий дохід приносять викладання математики і гороскопи.

У 1613 році Кеплер одружується на 24-річній дочці столяра Сюзані. У них народилося семеро дітей, вижили четверо.

У 1615 році Кеплер отримує звістку, що його мати звинувачена в чаклунстві. Звинувачення серйозне: минулої зими в Леонберзі, де жила Катаріна, були за тою ж статтею спалено 6 жінок. Звинувачення містило 49 пунктів: зв'язок з дияволом, богохульство, псування, некромантія тощо. Кеплер пише міським властям; матір спочатку відпускають, але потім знову заарештовують. Слідство тягнулося 5 років. Нарешті, в 1620 році почався суд. Кеплер сам виступив захисником, і через рік змучену жінку нарешті звільнили. Наступного року вона померла.

У 1626 році в ході тридцятирічної війни Лінц обложений і незабаром захоплений. Починаються грабежі і пожежі; у числі інших згорає друкарня. Кеплер переїздить в Ульм.

У 1628 році Кеплер переходить на службу до Валленштейна.

У 1630 році відправляється до імператора до Регенсбург, щоб отримати хоч би частину платні. По дорозі сильно застуджується і незабаром вмирає.

Після смерті Кеплера спадкоємцям дісталося: поношений одяг, 22 флоріни готівкою, 29 000 флорінів неоплаченої платні, 27 опублікованих рукописів і безліч неопублікованих; вони пізніше були видані в 22- томній збірці.

Через складності з католицькою церквою Граца Кеплер із дружиною змушені були в 1600 покинути це місто і переїхати за запрошенням астронома Тихо Браге у Прагу. Після смерті Браге в 1601 Кеплер стає його спадкоємцем на посаді королівського математика й астронома. У 1604 він публікує свої спостереження .

У Кеплера вперше зустрічається термін „середнє арифметичне”.

Завдяки деяким вдалим прогнозам Кеплер заробив репутацію майстерного астролога. У Празі одній з його обов'язків було складання гороскопів для імператора. Слід відмітити, разом з тим, що Кеплер при цьому не займався астрологією виключно ради заробітку і складав гороскопи для себе і своїх близьких. Так в своїй роботі „Про себе” він приводить опис власного гороскопу, а коли в січні 1598 року у нього народився син, Генріх, Кеплер склав гороскоп і для нього. На його думку, найближчим роком, коли життю його сина загрожувала небезпека, був 1601 рік, але син помер вже в квітні 1598 року.



  1. Розвязування задач.

Задача Кеплера.

В дане коло вписати прямокутник найбільшої площі.



Задача Валліса.

Довести,що з усіх прямокутників найбільшу площу має квадрат.



  1. Домашнє завдання. Розв’язати задачу Валліса.

  2. Підсумок уроку.

Урок 5.

Тема. Задачі на трапецію описану навколо кола і вписану в коло.

Мета. Формувати навички та вміння застосовувати набуті знання при розв'язуванні задач; розвивати логічне мислення, вміння міркувати, робити висновки; виховувати культуру математичного мислення, впевненість в собі.

  1. Узагальнення і систематизація знань учнів.

Запитання до класу.

  • Що таке трапеція?Які є види трапецій?

  • Як знайти периметр, площу,довжину середньої лінії трапеції?

  • В яку трапецію можна вписати коло?

  • Яка властивість дотичних, проведених з однієї точки до кола?

  • Навколо якої трапеції можна описати коло?

II. Розв'язування задач.

1.Основи трапеції мають довжини 3 см і 15 см.Чи може радіус кола,вписаного в трапецію,мати довжину 4 см ? (Ні.)



  1. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію,ділить її меншу основу на відрізки 6 см і 3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчислити периметр трапеції.

Розв’язання.


В К С

c:\users\людмила\documents\media\image6.jpegD


Нехай АВСD дана трапеція, ВС і АД паралельні, АВ і АD перпендикулярні;точки М, N, К, Е - точки дотику вписаного кола зі сторонами трапеції; ВК=6 см, СК=3 см; точка О - центр вписаного кола, ОК=ON=ОМ=ОЕ=r. У чотирикутнику ВКОN кути по 90°, отже він прямокутник. За властивістю, дотичних проведених до кола через одну точку, ВN=ВК=6 см, КС=ЕС=3 см. Тоді ВКОN квадрат, ОN= ОК= ОЕ= ОМ=ВК=6 см , АВ= 12 см, ВС=9 см .В трикутнику СОD, ОЕ2=СЕ*ЕД, ЕД=36:3=12 см. СD=СЕ+Е D=3=12=15 см, АD= 6+12=18 см. Отже Р=АВ+ВС+СD+АD= 12+9+15+18=54 см.



Відповідь:54 см.

3. Знайти радіус кола вписаного в прямокутну трапецію, якщо її основи а і в.



Розв’язання

В С.image7


D


Нехай у трапеції АВСD ВС=а, АD= в. Трапеція прямокутна то АВ=2r, r - радіус вписаного кола.

АВ+СD=ВС+АD властивість сторін описаного чотирикутника. СD=ВС+АD-АВ=а+в-2r, СЕ і АD перпендикулярні, тоді СЕ=АВ=2r. В трикутнику СЕD, кут Е= 90°, СD2=СЕ2+ЕD2, тоді (а+в-2r)2=2r2+(в-а)2,

(а+в)2 -4(а+в)r +4 r2 =4 r2+(в-а)2,

4(а+в)r =(а+в)2-(в-а)2,

4(а+в)r =4ав, r = ав: (а+в).



Відповідь: r=ав: (а+в).
4. Знайти діагоналі і бічну сторону рівнобічної трапеції з основами 12 і 20 см, якщо центр описаного кола лежить на більшій основі.


D
image8


Розв'язання.

Нехай АВСD вписана в коло трапеція,точка О- центр описаного кола, ВС=12 см, АD=20 см. Проведемо СК перпендикуляр до АD. СК=(20-12):2=4 см, АК= 20-4=16 см. Розглянемо трикутник АСD, СК2 = АК*КD =16*4=64, СК=8см; АС2=АК2+СК2=256+64=320, АС=85см . АВ2=СD2=64+16=80, АВ=СD=45 см.

5.У рівнобічній трапеції центр описаного кола лежить на більшій основі.Діагональ і висота трапеції відповідно дорівнюють 40 і 24 см. Обчисліть радіус описаного кола.

Розв’язання.

А


*

image9
Нехай АВСD вписана в коло трапеція,точка О - центр описаного кола,АС=40 см, СК=24 см, СК-висота. В трикутнику АСЕ, АЕ2=АС2-СЕ2 = 402-242=322, АЕ= 32 см. В трикутнику АСD, СК2=АС КD, КD=18 см. Тоді АD=32+18=50 см. Отже К=АD:2=25 см.

Відповідь: 25 см.


  1. У прямокутній трапеції точка дотику вписаного у неї кола ділить більшу основу на відрізки 12 і 16 см, починаючи від вершини прямого кута. Знайдіть меншу основу трапеції.

Розв’язання.


В С

c:\users\людмила\documents\media\image10.jpeg


Нехай АВСD трапеція описана навколо кола,точка К - точка дотику, АК=12см, КD=16 см. АК=ОК=ОЕ= r =12 см, КD=ЕD=16 см. В трикутнику СОD, ОЕ2=СЕ*ЕD, СЕ=122:16=9 см.



Відповідь: 9 см.

Задачі для самостійного розв’язування.

  1. Навколо трапеції з висотою Н описане коло. Основи трапеції видно з ценра кола під кутами а і в. Знайти радіус кола, площу трапеції. (Розглянути випадки, коли основи видно з одного боку від її центра і з різних сторін.)



  1. Довжини бічних сторін трапеції 6 і 10 см. В трапецію можна вписати коло. Середня лінія розбиває трапецію на дві частини, відношення площ яких 5:11.Знайти основи трапеції.

Відповідь:2см, 15 см.

  1. Навколо кола описано рівнобічну трапецію АВ СD. Точки Е і К - точки дотику до бічних сторін АВ і СD. Довести, що відрізок ЕК паралельний основам трапеції.

  2. Навколо круга описано рівнобічну трапецію, в якої довжина середньої лінії 5 см. Знайти периметр трапеції і довжини бічних сторін.

Відповідь:20 см, 5 см.

11. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута рівнобічної трапеції на більшу основу, ділить її на відрізки 25 і 7 см. Обчисліть радіус вписаного кола.

12.Точки дотику вписаного в трапецію кола ділять бічну сторону на відрізки 9 і 16 см,а другу бічну сторону - на відрізки, різниця яких дорівнює 10 см. Знайдіть основи трапеції.

III. Домашнє завдання. Виконати завдання № 6.



IV Підсумок уроку.

Урок 6.

Тема. Задачі на середню лінію трапеції.

Мета. Формувати навички та вміння учнів застосовувати набуті знання при розв'язуванні задач на знаходження елементів трапеції, задач на доведення; розвивати обчислювальні навички та логічне мислення при розв'язуванні вправ.

І. Узагальнення і систематизація знань учнів.

Запитання до класу.



  • Яка трапеція називається рівнобічною?

  • В яку трапецію можна вписати коло?

  • Як знайти висоту, периметр, площу трапеції ?

  • Які трикутники називаються подібними,гомотетичними?

  • Які кути називаються відповідними?

  • Яка властивість середньої лінії трикутника?

  • Яка властивість медіани прямокутного трикутника?

  • Який чотирикутник називається паралелограмом?

II. Розв’язування задач.

1.Довжина середньої лінії рівнобічної трапеції дорівнює 5см. В трапецію можна вписати коло. Середня лінія ділить її на дві частини, площі яких відносяться як 7:13.Знайти висоту трапеції.



Розв’язання.


c:\users\людмила\documents\media\image11.jpeg


Нехай АВСD дана трапеція, в якій АВ=СD, МN - середня лінія, ВС=а, АD=в. Проведемо висоти ВН і СК. S1S2 = 7:13 то ((а+5):2 h): ((в+5):2h) = (а+5): (в+5)=7:13. З даної пропорції одержимо рівняння 7в-13а=30, а+в=10. Розв'язавши систему отриманих рівнянь одержимо, що в=8см, а= 2см. АН=КD=(8-2):2=Зсм. В прямокутному трикутнику АВН (за теоремою Піфагора ) АВ2=АН2-ВН2, ВН2=25-9=16. Отже h= ВН=4см. Відповідь: 4 см.

2.Навколо круга описано рівнобічну трапецію,середня лінія якої 5 см.Знайти периметр і довжину бічної сторони трапеції.

Розв’язання.


c:\users\людмила\documents\media\image12.jpeg


Нехай АВСD дана трапеція, АВ=СD, МN-середня лінія.Тоді ВС+АD=10cм (властивість сторін вписаного чотирикутника), АВ=СD=10:2=5см. Р=АВ+ВС+СD+АD=5+5+10=20 см.



Відповідь:20 см, 5 см.

3.Довжини бічних сторін трапеції 6 і 10 см. В трапецію можна вписати коло. Середня лінія ділить її на дві частини,площі яких відносяться як 5:11.Знайти довжини основ трапеції.



Розв’язання.


а

c:\users\людмила\documents\media\image13.jpeg


Нехай АВСD дана трапеція, в яку можна вписати коло. Тоді АВ+СD=ВС+АD=6+10=16см, МN-середня лінія, MN=16:2=8см. S1:S2 = 7:13 то ((а+5):2h): ((в+5):2h ) = (а+5): (в+5)=5:11. З даної пропорції одержимо рівняння 11а-5в=40 і а+в=16, де ВС=а, АD=в. Розв'язавши систему рівнянь одержимо , що в=14 см , а= 2см.



Відповідь: 2 см, 14 см.

4. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює 5 см, а довжина відрізка, який сполучає середини основ 3 см. Кути при більшій основі дорівнюють 30° і 60°.3найдіть основи трапеції.



Розв’язання.
В К С


c:\users\людмила\documents\media\image14.jpeg


Нехай АВСD дана трапеція; М, K, F, N середини відповідних сторін відрізків АВ, ВС, СD, АD, кути А і D відповідно 30° і 60°. На основі АD позначимо точки Р і F такі, що АВ і РК та СD і КF будуть паралельні. Тоді в трикутнику РКF, кут К=90°, РF=АD-ВС=2*КF=6 см. Враховуючи, що АD+ВС=2*MN =10 см отримаємо АD=8 см , ВС=2 см.



Відповідь:2 см, 8см.

5. Середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ. Доведіть, що діагоналі трапеції перпендикулярні.



Розв’язання.


В N С

c:\users\людмила\documents\media\image15.jpeg


Нехай точки М,N,К,F середини сторін відповідно трапеції АВСD. Оскільки МN і КF середні лінії трикутників АВС і АDС,то МN =КF і паралельні. Тому чотирикутник МNKF паралелограм. Діагоналі цьoго паралелограма МК і NF рівні за умовою. Отже, МNКF прямокутник і кут МNК=900. Оскільки МN і АС та КN і ВD паралельні, то АС і ВD перпендикулярні.

6. Діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть, що середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ.

Розв’язання.


А


В

image16

Нехай АВСD дана трапеція, АС і ВD перпендикулярні, точки М і N середини основ ВС і АD відповідно. Трикутники АОD і ВОС гомотетичні з центром гомотетії в точці О, то точки М, O, N лежать на одній прямій і МN=МО+NO. Оскільки ОМ і ОN медіани прямокутних трикутників, проведені до гіпотенуз ВС і АD то, ОМ=ВС:2, ON=АD:2. Oтже, МN= МО+NO=(ВС+АD):2.



  1. Домашнє завдання. Виконати задачу № 3.

  2. Підсумок уроку.



База даних захищена авторським правом ©mediku.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка