Зміст робота з обдарованими дітьми-важлива ділянка роботи сучасної школи; Приклади І розв’язки нестандартних задач; Розв’язки рівнянь І систем рівнянь вищих степенів; Приклади самостійних І контрольних робіт вищого рівня




Сторінка1/4
Дата конвертації21.04.2016
Розмір0.7 Mb.
  1   2   3   4
ЗМІСТ
1). Робота з обдарованими дітьми-важлива ділянка роботи сучасної школи;

2). Приклади і розв’язки нестандартних задач;

3). Розв’язки рівнянь і систем рівнянь вищих степенів;

4). Приклади самостійних і контрольних робіт вищого рівня;

5). Залікові роботи, які я пропоную обдарованим дітям;

6). Інші індивідуальні завдання.


ПЕРЕДМОВА
В цьому посібнику поміщені системи завдань, які можна розв’язувати з учнями додатково при вивченні тієї чи іншої теми. Також підібрані системи нестандартних рівнянь, систем рівнянь.

Наведені приклади контрольних, самостійних робіт, теми і плани математичних творів, творчих робіт, системи завдань, які можна використовувати для тематичних атестацій при підготовці учнів до олімпіад.

У зв’язку із збільшенням розумового навантаження, на уроках підтримується, у школярів, інтерес до навчання, бажання займатися математикою.

Творчий потенціал особистості є істотним резервом, актуалізація дає змогу значно підвищити якість будь-яких суспільних реформ; обдарованість є одним із основних факторів економічного розвитку України в умовах переходу її до нових відносин; творчість і обдарованість є невід’ємною частиною людської духовності, соціальним механізмом, який протидіє регресивним лініям у розвитку суспільстві. Сьогодні це актуально для нашої держави.

Людство оновлює і удосконалює себе через виховання нових поколінь. І передусім через формування особистості, здатної до творчості. Розвиток творчих здібностей дітей – нового покоління планети – справа всього людства.

Орієнтація на людину, фундаментальні цінності, рішуча демократизація освіти – ось що головне, на чому повинна базуватися освіта третього тисячоліття.

Для сучасної школи важливою є проблема розвитку творчих здібностей та пізнавальних інтересів учнів. Її розв’язання значною мірою залежить від особистості вчитися, його бажання не тільки передати учням необхідні знання, а й продемонструвати глибину і красу древньої та загадкової науки математики.

Для успішного засвоєння учнями математики, дуже важливо зацікавити учнів предметом. Тоді діти охоче і без надмірних зусиль зможуть опанувати не лише матеріал викладений у підручнику, а й додатковий, складніший.

Навчання учнів працювати за своїми здібностями, удосконалюючи їх на кожному уроці і не втратити інтерес до навчання, я вважаю головним у навчанні.

Взагалі наша робота повинна бути високопродуктивна і легко засвоюватись учнями.

І серед важливих проблем, які є предметом розгляду методики навчання математики в загальноосвітній школі одне з чільних місць належить розробці форм і методів навчання здібних до математики учнів. І як відомо ці учні вимагають нестандартних підходів до їхнього навчання і виховання.

Існує проблема яку в свій час розробив академік А.Колмогоров: «Організувати навчальну роботу із здібними учнями так, щоб вони фактично самі брали участь у творенні теорії, яку вивчають.» Для цього, я рахую, потрібно небагато: навчати дітей самостійно мислити, працювати з підручником, додатковою літературою, щоб вони вміли виділяти головне по кожній темі.

Навчити учнів працювати самостійно дуже потрібно. Школа дає порівняно невеликий обсяг знань.

З історії розвитку математичного аналізу відомо, що до відкриття похідної прийшли незалежно один від одного два відомих вчених Ісак Ньютон і Готфрід-Вільгельм Лейбніц: перший, розв’язуючи задачу механіки про визначення миттєвої швидкості, а другий – геометричну задачу про визначення положення дотичної до кривої в певній точці.

В шкільному курсі доводиться обмежуватися детальним розглядом лише однією з цих задач. І перевагу слід передати задачі про миттєву швидкість, оскільки з нею учні знайомі з курсу фізики.

Із задачею про дотичну можна учнів ознайомити пізніше, коли розглядатиметься геометричний зміст похідної та її застосування в геометрії.

Спочатку потрібно згадати учням про поняття швидкості рівномірного прямолінійного руху, тобто такого руху, при якому швидкість стала, тіло проходить рівні відстані за рівні проміжки часу. Дальше пояснюється поняття середньої швидкості нерівномірного руху.

Часто зустрічається рух, при якому тіло змінює швидкість за більш складним законом. В такому випадку вводиться поняття середньої швидкості руху. Середня швидкість руху дорівнює швидкості такого рівномірного руху, при якому тіло за даний проміжок часу проходить ту ж відстань, що і при нерівномірному русі. Отже, для знаходження середньої швидкості руху треба шлях, пройдений тілом за даний проміжок часу, розділити на час його руху.

Миттєву швидкість будь-якого руху можна знайти вказаним способом, тобто, як границю відношення приросту шляху до відповідного приросту часу, коли приріст часу, необмежено зменшується і прямує до нуля.

Можна для будь-якої функції поставити питання про швидкість її зміни на різних ділянках зміни аргументу. Також для будь-якої функції при будь-якому значенні аргументу знайти приріст аргументу, потім відповідний приріст функції і границю відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля. Тоді цю границю можна називати миттєвою швидкістю зміни функції або просто швидкістю зміни функції. А швидкість зміни функції знайдену вказаним способом, називати похідною, а знаходження похідної функції – диференціюванням функції.

Дається означення. Похідною функції в точці х0 називається границя відношення приросту Δf функцій f(x) до приросту Δx аргументу x при умові, що приріст аргументу прямує до нуля.


Якщо в кожній точці деякого проміжку функція має похідну, то ця функція називається диференційованою на цьому проміжку. Похідна – це фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси й явища в природничих, соціальних й економічних науках.

Необхідною умовою існування похідної функції в даній точці є неперервність функції в цій точці.









































































Теореми про похідну алгебраїчної суми, добутку і частки є правилами диференціювання функцій. Користуючись цими правилами і таблицею похідних основних елементарних функцій, отриманих з цих елементарних за допомогою чотирьох арифметичних дій.

Доведення цих правил виконується як задача на знаходження похідної.

Правила.














Третя формула називається формулою Лейбніца. Можна довести, що похідна добутку будь-якого скінченого числа множників дорівнює сумі добутків похідних кожної з них на всі інші:















Дальше розглядається правило знаходження похідної складеної функції. Спочатку потрібно пояснити учням поняття складеної функції.

Теорема про похідну складеної функції і розв’язування вправ на обчислювання похідних складених функцій викликають певні труднощі у багатьох учнів. Ці труднощі можна зменшити, якщо, формуючи поняття складеної функції, ввести поняття проміжної залежної змінної.

Доцільно звернути увагу учнів на те, що із складеною функцією вони зустрічались, коли виводилась похідна степеня функції.

Враховуючи, що за означенням є похідною функції у т. х0 , учні самі роблять висновок щодо геометричного змісту похідної: похідна функції в т. х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці з абсцисою х0 .

Користуючись поняттям похідної можна вивести рівняння дотичної до кривої в будь-якій точці. Увагу учнів слід звернути на те, що геометричний зміст похідної дає можливість уточнити напрям графіків вже відомих функцій.

- загальне рівняння прямої. Якщо пряма дотична до графіка функції в т. А (х0, у0), то координати цієї точки задовольняють рівняння прямої у0 = kx0 + l. Віднімемо почленно ці рівняння:

Одержимо рівняння множинних прямих, які проходять через точку А (х0, у0).

Похідна є кутовим коефіцієнтом до графіка функції.

Приклад.


Розглянемо функції і . Функцію, задану формулою , називають складеною функцією.

Похідна складеної функції знаходиться за формулою



Важливо виробити в учнів вміння бачити проміжний аргумент заданої складеної функції. Цього можна добитися, розв’язуючи задачі двох типів:

  1. Складання складних функцій і за даними функціями .

  2. Розкладати складну функцію на елементарні функції.







Програма курсу алгебри і початків аналізу передбачає спеціальне вивчення застосування похідної в геометрії, фізиці та наближених обчисленнях.

В результаті вивчення розділу «застосування похідної» учні повинні засвоїти геометричний та механічний зміст похідної, означення зростаючої (спадної) функції на проміжку, означення максимуму і мінімуму функції, а також необхідну і достатню умови існування екстремуму функції. Вони повинні навчитися складати рівняння дотичної до кривої, заданої рівнянням, знаходити миттєву швидкість прямолінійного руху, застосовувати похідну для дослідження функції, знаходити проміжки зростання (спадання) функції і точки екстремуму.

Застосування похідної в геометрії пов’язане із задачею про проведення дотичної до кривої в певній точці. Зміст поняття дотичної до кривої в певній точці учні розуміють інтуїтивно. На цьому етапі навчання важливо показати учням, що те означення дотичної до кола, з яким вони ознайомились в курсі геометрії, не охоплює змісту цього поняття.

Розглядається в загальному вигляді задача про проведення дотичної до будь-якої кривої в певній точці, яка зводиться до знаходження кутового коефіцієнта дотичної, тобто тангенса кута α між дотичною і додатним напрямом осі Ох.

Дотична графіка диференційованої в т. х0 функції f – це пряма, що проходить через т. 0; f0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0).

Для диференційованої функції f на деякому проміжку на інтервалі (а; b), який належить проміжку диференційованості функції, існує принаймні одна точка с , така, що
- формула Лагранжа.

За допомогою похідної можна встановлювати зростання або спадання функції на різних проміжках області її визначення.

Перше чим сформулювати умову зростання чи спадання функції, необхідно повторити відповідні означення, проілюструвати їх на графіках.

Теорема. Якщо похідна функції f в т. х0 додатна, то функція зростає на деякому околі цієї точки. Якщо похідна функції f в т. х0 від’ємна, то функція спадає на деякому околі цієї точки.

Якщо функція f монотонна на інтервалі (а; b) і неперервна в точках а і b, то вона монотонна і на відрізку [а; b].

Після цього звертається увага на те, що при дослідженні функції на монотонність доводиться користуватися оберненим твердженням, яке формулюється в шкільному курсі без доведення і дає достатні ознаки зростання і спадання функцій.

Корисно також зауважити, що коли функція має похідну, яка дорівнює нулю в кожній точці деякого проміжку.

Під час розв’язування вправ на дослідження функцій на монотонність є нагода повторити розв’язування нерівностей. Доцільно досліджувати функції, що задаються многочленами, та найпростіші дробово-раціональні функції.

Приклад. Знайти проміжки зростання і спадання функції


  1. Область визначення функції:

  2. Знайти похідну:

  3. Розв’язати нерівності




зростає на (-∞;-2] i [;∞) спадає на [-2; ].

Знаходження максимуму і мінімуму функції – одне з найбільш важких питань з навчальної програми.

Внутрішні точки області визначення функції при яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними.

У навчальному посібнику терміни «максимум» і «мінімум» характеризують поведінку функції в як завгодно малому околі деякої точки. Перше завдання, яке стоїть перед учителем у зв’язку введення екстремумів, дати означення максимуму і мінімуму функції. Спочатку це проілюструвати на малюнках.






Аналізуючи малюнки, даємо означення точок екстремуму функції. Звертається увага, що максимум і мінімум функції знаходяться тільки у внутрішніх точках області її визначення. Максимум і мінімум функції не обов’язково є її найбільшим чи найменшим значенням на всій області визначення. Тому в області визначення або на деякому її проміжку функція може мати кілька максимумів і кілька мінімумів, причому максимум в якійсь точці, може виявитись меншим від мінімуму.

Дальше формулюються необхідні умови існування екстремуму функції (т. Ферма).

В точках максимуму і мінімуму (в екстремальних точках) похідна дорівнює нулю.

Досвід показує, що поняття найбільшого і найменшого значення функції доцільно вводити тоді, коли й поняття екстремуму. Максимум або мінімум деяких функцій може збігатися з найбільшим або найменшим значенням функції в області визначення.

Наприклад, функція має при х=0 максимум, який збігається з найбільшим значенням функції в області визначення.

Можна навести приклади коли функція в даному проміжку має максимум і мінімум, але не має найбільшого і найменшого значень і навпаки.

Важливо показати на прикладі функції у=х3 , що теорема Ферма не гарантує існування екстремуму.

Достатню умову для існування екстремуму, яка спирається на першу похідну, також доцільно спочатку проілюструвати геометрично, а потім запропонувати учням самостійно сформулювати цю умову і довести її.

Дослідження функції на екстремум доцільно розбивати на такі чотири кроки:


  1. Знайти похідну функції. І якщо можливо розкласти на множники.

  2. Знайти критичні точки, розв’язати рівняння .

  3. Починаючи з найменшої точки критичної, дослідити знак похідної спочатку зліва а потім справа від неї. Якщо похідна змінює знак «плюс» на «мінус», то в цій точці буде максимум функції, а якщо навпаки – знак «мінус» на «плюс», то функція в цій точці досягає мінімуму. Якщо знак похідної не змінюється при переході через критичну точку, то вона не є точкою екстремуму.

  4. Знайти значення максимумів і мінімумів функції, підставляючи в рівняння відповідні значення х.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію .






Можна також за допомогою графіка визначити, як змінюється знак похідної при переході через критичні точки.

Розв’язування багатьох практичних задач, часто зводиться до знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на відрізку функції. У курсах аналізу доводиться теорема Веєрштраса, яка стверджує, що неперервана на відрізку [а; b] функція f має на цьому відрізку найбільше і найменше значення, тобто існують точки відрізка [а; b] в яких f набуває найбільшого і найменшого на [а; b] значення.

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку потрібно:



  1. Знайти похідну і всі критичні точки функції.

  2. Відібрати ті, які належать даному відрізку.

  3. Знайти значення функції на кінцях відрізка і від критичних точок, які належать відрізку.

  4. Серед них вибираємо найбільше і найменше значення.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку [-2; -0,5].

При дослідженні функції і побудові її графіка однією з основних задач є встановлення властивостей, які притаманні функції. Дослідження функції може виконуватись для різних цілей. Графік функції є її геометричним зображенням, на якому зображені всі властивості цієї функції. Приступаючи до дослідження функції і побудови її графіка, вчитель показує учням, що контур графіка неперервної функції в загальних рисах визначається її характеристичними точками. Дослідження функції проводимо за схемою, поданою в підручнику. Іноді для точнішої побудови графіка знаходять координати ще декількох точок, крім характерних.

Схема дослідження.

  1. Область визначення.

  2. Точки перетину з осями координат.

  3. Парність або непарність.

  4. Похідна функції.

  5. Критичні точки.

  6. Проміжки зростання (спадання) функції.

  7. Екстремальні точки.

  8. Екстремуми функції.

  9. Графік функції.

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.






  1. Ні парна, ні непарна.





  2. зростає (-∞; 0] i [2; ∞) спадає [0; 2]









  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©mediku.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка